Standardabweichung Rechner - Varianz, Quartile und mehr

Teilen Sie durch n, wenn Ihre Liste die vollständige Grundgesamtheit ist, die Sie interessiert, etwa alle Messungen einer zweistündigen Schicht, wenn Sie wissen wollen, wie stark diese Schicht streute. Teilen Sie durch n−1, wenn Ihre Liste eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit ist, etwa fünfzig befragte Kunden, wenn Sie die Streuung Ihrer gesamten Kundenbasis schätzen wollen. Die Korrektur existiert, weil Ihr Mittelwert aus genau den Werten berechnet wurde, mit denen Sie die Abstände messen; er rückt dadurch etwas zur Mitte hin, und jeder quadrierte Abstand fällt etwas zu klein aus. Durch n−1 statt durch n zu teilen, vergrößert die Varianz um n/(n−1) und hebt diesen Bias auf. Praktisch liegen Stichprobenstandardabweichungen bei n = 20 rund 5 Prozent über den Grundgesamtheitswerten, bei n = 100 um 1 Prozent und sind ab einigen Tausend ohne Bedeutung. Eine Standardabweichung ohne Angabe der verwendeten Form zu veröffentlichen ist die häufigste statistische Unterlassung.

Der Mittelwert ist die Summe geteilt durch die Anzahl und gewichtet jeden Wert gleich stark, sodass eine einzelne extreme Beobachtung ihn deutlich verschiebt. Der Median ist der mittlere Wert nach dem Sortieren und bewegt sich kaum, wenn ein extremer Wert auftritt, weil er nur von der Reihenfolge der Daten abhängt und nicht davon, wie weit sie auseinanderliegen. Bei symmetrischen Daten stimmen sie überein, bei schiefen Daten weichen sie ab. Für die Liste 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ist der Mittelwert genau 5, der Median dagegen 4,5, weil die beiden größten Werte den Durchschnitt nach oben ziehen. Nehmen Sie den Mittelwert, wenn Sie ihn für weitere Rechnungen brauchen, etwa für einen Anteil an der Gesamtsumme oder eine gewichtete Kombination, und den Median, wenn Sie einen typischen Fall in einer Verteilung beschreiben wollen, in der wenige große oder kleine Werte das Bild dominieren. Wenn Sie bei schiefen Daten nur eine Zahl berichten, irreführen Sie jeden Leser.

Weil die Varianz in quadrierten Einheiten gemessen wird und niemand in Sekundenquadraten denken kann. Das Quadrieren ist mathematisch notwendig und keine Wahl: Die Abstände zum Mittelwert haben entgegengesetzte Vorzeichen, und ohne Quadrieren würde ein Wert 5 über dem Mittel genau einen Wert 5 darunter aufheben, sodass jeder Datensatz eine Varianz von null ergäbe. Das Quadrieren macht alle Beiträge positiv, und die entstehende Summe wächst mit dem Quadrat der Streuung. Division durch n oder n−1 liefert eine Varianz in Zeiteinheiten zum Quadrat, die mit nichts Sinnvollem vergleichbar ist. Die Wurzel stellt die ursprünglichen Einheiten wieder her, sodass eine Standardabweichung von 0,83 Sekunden bedeutet, dass die Daten tatsächlich rund 0,83 Sekunden vom Mittelwert entfernt sind, eine Aussage, die gegen eine Vorgabe geprüft, zu einem Grenzwert addiert oder in eine weitere Formel eingespeist werden kann. Deshalb zitieren Menschen die Standardabweichung und nicht die Varianz, wenn sie sagen, wie stark ihre Daten streuen.

Der Interquartilsabstand, kurz IQR, ist Q3 minus Q1 und misst die Breite der mittleren Hälfte der Daten, wobei das untere und das obere Viertel vollständig wegfallen. Genau das macht ihn robust. Die Standardabweichung nutzt jeden Wert gewichtet mit seinem Abstand zum Mittelwert, sodass ein einzelner falsch erfasster Messwert oder ein Kunde, der 900000 statt 90000 in sein Gehaltsfeld tippt, sie gewaltig aufbläht. Der IQR bleibt davon unberührt. Für die Liste 11,2, 11,5, 11,9, 12,1, 12,4, 13,8 beträgt die Standardabweichung etwa 0,83 Sekunden und der IQR etwa 0,73, ein mäßiger Unterschied; fügen Sie einen einzelnen Ausreißer mit 500 hinzu, schnellt die Standardabweichung über 180, während Q1 und Q3 kaum zucken. Bei schiefen Daten wie Einkommen, Immobilienpreisen und Latenzzeiten ist die Kombination aus Median und IQR die bewährte Absicherung. Die gebräuchliche Faustregel lautet, Werte jenseits von 1,5 IQR unter Q1 oder über Q3 genauer anzusehen.

Der Variationskoeffizient teilt die Standardabweichung durch den Betrag des Mittelwerts und drückt das Ergebnis in Prozent aus, wandelt also eine absolute Streuung in eine relative. Eine Standardabweichung von 12 ist für sich genommen nicht interpretierbar: Sie ist gewaltig bei einem Mittelwert von 12 und vernachlässigbar bei einem Mittelwert von 5000. Als Verhältnis ausgedrückt fallen Einheiten und Skala weg. Im Rechner hat die Standardliste einen Variationskoeffizienten von rund 35,5 Prozent, während eine engere Notenliste bei etwa 10,8 Prozent liegt; auf einen Blick ist damit klar, dass die erste Liste im Verhältnis zu ihrer eigenen Größe streut und die zweite nicht. Genau deshalb eignet sich diese Kennzahl für den Vergleich von Datensätzen mit verschiedenen Einheiten, etwa die relative Schwankung täglicher Umsätze in Euro gegenüber derjenigen in Dollar oder zwischen Populationen sehr unterschiedlicher Größen. Eine Einschränkung: Sie wird sinnlos, wenn der Mittelwert nahe null liegt, denn dann teilen Sie durch eine sehr kleine Zahl.

Der Standardfehler des Mittelwerts, abgekürzt SEM, ist die Stichprobenstandardabweichung geteilt durch die Quadratwurzel von n. Er beantwortet eine andere Frage als die Standardabweichung selbst. Die Standardabweichung beschreibt, wie weit Ihre einzelnen Datenpunkte vom Mittelwert entfernt sind; der Standardfehler beschreibt, wie genau Ihre Schätzung des Mittelwerts bekannt ist. Da der Mittelwert vieler Beobachtungen gegen den wahren Wert konvergiert, schrumpft seine Unsicherheit mit wachsender Datenmenge, und zwar im Verhältnis eins zur Wurzel aus n: Sie brauchen also die vierfache Datenmenge, um den Standardfehler zu halbieren, und die sechzehnfache, um ihn zu vierteln. Für die Standardliste aus zehn Werten mit einer Stichprobenstandardabweichung von 10,898 beträgt der Standardfehler etwa 3,45; ein Mittelwert von 29,1 trägt also eine Unsicherheit in der Größenordnung von plus minus drei. Wenn Sie in einem Artikel einen Mittelwert berichten, sagt die Angabe des Standardfehlers dem Leser, wie sehr er darauf vertrauen soll. Verwechseln Sie ihn nicht mit der Standardabweichung der Rohdaten, die meist die größere der beiden ist.

Der Rechner meldet einen Modalwert nur, wenn mindestens ein Wert mehr als einmal vorkommt, denn eine Liste, in der jeder Wert genau einmal erscheint, hat streng genommen keinen Modalwert. Das ist die strenge Lehrbuchdefinition, und sie weicht vom Verhalten mancher Programme ab: Excel liefert gelegentlich mehrere Ergebnisse oder den kleinsten Wert auf eine überraschende Weise. Das Werkzeug meldet außerdem alle gleichauf liegenden Modalwerte, statt willkürlich einen auszuwählen, gibt also für die Liste 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 sowohl 4 als auch 5 zurück, weil jeder dreimal vorkommt. Eine bimodale Verteilung ist oft aussagekräftiger als jeder der beiden Werte für sich: Zwei Gipfel bedeuten meist, dass Ihre Daten zwei verschiedene Populationen enthalten, etwa zwei Kundengruppen oder zwei Betriebszustände, und sie in einem einzigen Mittelwert und einer einzigen Standardabweichung zusammenzufassen verdeckt diese Struktur. Sehen Sie zwei Modalwerte, teilen Sie die Daten und analysieren Sie die Hälften getrennt.